三水平最小低阶投影均匀设计的设计效率*
柏启明，黄兴友，薛慧丽，李洪毅
(吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首 416000)
从经济角度出发，部分因析设计被广泛应用于工农业等领域，其关键是如何从完全因析设计中挑选试验点.部分因析设计可分为正规设计与非正规设计.正规部分因析设计主要是利用最大分辨度准则和最小低阶混杂准则来衡量部分因析设计的优良性[1-2].对于非正规部分因析设计，通常使用广义最小低阶混杂准则、正交性准则、设计效率准则和最小低阶投影均匀性准则筛选最优非正规部分因析设计[3-6].与正规部分因析设计相比，非正规部分因析设计试验次数更灵活，成本更低，运用更广泛.
均匀设计是由方开泰和王元于20世纪70年代末提出的一种试验设计方法[7-8]，它要求试验点在试验区域内均匀散布.关于均匀设计的研究已获得丰富的成果[9-10].基于因子效应的稀疏原则，低维投影的均匀性非常重要，因此许多学者讨论了设计的低维投影的均匀性[11-14].例如，针对二水平设计，Zhang等[11]讨论了均匀性模式分别与B向量及广义字长型之间的解析关系；
在中心化L2-偏差下，Qin等[12]讨论了二水平最小低阶投影均匀设计的设计效率，发现最小低阶投影均匀性准则与设计效率准则在设计的强度为2时等价.而在实际试验中，二水平设计已不能满足试验需求，因此有必要研究更高水平设计的投影均匀性与设计效率的关系.
1.1 正交表
对于一个具有n次试验、s个三水平因子的设计，若每个水平数在每个因子中出现相同次数，则称该设计为U-型设计，这种设计的集合记为U(n;3s).对于任意设计d∈U(n;3s)，若在设计d中任意t列的所有水平组合在所有n×t子矩阵中出现的频率相等，则称设计d是强度为t的正交表，记为OA(n;3s，t).特别地，t=2时的正交表称为正交设计，t=1时的正交表就是一个U-型设计.
1.2 广义最小低阶混杂准则
对于设计d∈U(n;3s)，a，b是d中的任意2行，记设计d中行a与行b之间的重合数为δab，即a，b行之间对应位置为相同元素的位置个数.dH(a，b)=s-δab，为设计d的行a与行b之间的Hamming距离.对于j=0，1，·，s，定义
称向量(E0(d)，·，Es(d))为设计d的距离分布.记|Ω|表示集合Ω的秩.
根据距离分布，Xu等[3]给出了设计d的广义字长型Ai(d)，
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