知学生所想，解学生所惑

材料写作网    时间: 2020-06-19 04:28:12     阅读:次

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在解三角形的一次作业中遇到一个问题，看似平常简单，却引发学生的热议。笔者在课堂上及课后，都与学生进行了充分的讨论和交流，对学生的想法进行了整理，并且自己也进行了仔细的思考分析，觉得这确实是解三角形中的一个易错点。

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=3，b=

2■，B=2A.

（1）求cos A的值；（2）求c的值.

学生解法如下：

（1）由正弦定理得：■=■即■=■，∴cos A=■.

（2）在已知a=3，b=2■，cos A=■的条件下求c，其本质就是已知两边及其一边所对的角，求第三边.

解法一： cos A=■，0

sin B=sin 2A=2sin Acos A=■，cos B=cos 2A=2cos2A-1=■，sin C=sin（A+B）=■，再由正弦定理■=■可得：c=5.

解法二：由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A可得，

c2-8c+15=0，c=3或c=5.

解法三：同解法一得cos B=■，再由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B可得，c2-2c-15=0，c=-3（舍）或c=5.

学生困惑如下：

1.解法二、三都是运用余弦定理，解关于c的一元二次方程。为什么解法二会产生增根？而解法三两个根正好是一正一负，负的舍去，没有产生增根呢？

笔者思考分析：从几何作图来看，

解法二中：由a，b，A，求c， b sin A=2■×■，∴b sin A

解法三中：由a，b，B，求c， b>a，由几何作图知，三角形是唯一确定的，只有唯一解.

2.解法二如何想到要检验？如何舍去增根呢？

笔者思考分析：一般产生两解时，就应该用怀疑和探究的目光审视所得的结论，形成和强化反思检验意识，让思维更严谨一些。c的两个值真假难辨，检验的入口在哪里？

若c=3，则a=c，∴A=C，又 A+B+C=π，4A=π，与cos A=■矛盾，因此舍去。

3.以后遇到类似题目，如何选择方法？首选正弦定理还是余弦定理呢？余弦定理选择哪个式子可以避免增根？

笔者思考分析：例如△ABC中，a=7，c=5，A=60°，求△ABC的面积.

解法一：由正弦定理得：■=■ ∴sin C=■

c

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